Vad är den primitiva funktionen av x upphöjt till 2

Primitiv funktion

I kursavsnittet derivata äger vi lärt oss hur vi är kapabel hitta derivatan \(f'(x)\) utifrån en känd funktion \(f(x)\), vilket resulterade i en antal deriveringsregler för funktioner av olika slag.

I detta här avsnittet ska oss se hur vi är kapabel gå åt det motsatta hållet, hur vi hittar en funktion \(f(x)\) utifrån enstaka känd derivata \(f'(x)\). Denna funktion kallar vi på grund av primitiv funktion och existerar användbar inom olika kontext, mer angående det senare.

Om vi besitter en funktions derivata \(f'(x)\), så existerar den primitiva funktionen mot derivatan f(x). Den primitiva funktionen mot \(f(x)\) betecknas i sin tur "\(F(x)\)".

Generellt gäller för att en funktion \(F(x)\) existerar en primitiv funktion mot \(f(x)\) angående den primitiva funktionen F:s derivata existerar lika tillsammans med funktionen \(f(x)\):

$$F'(x)=f(x)$$

Vi börjar tillsammans med ett enkelt exempel

Om oss har derivatan

$$f'(x)=2x$$

och ska ta fram funktionen som deriverades för för att få denna derivata, därför ska oss hitta ett funktion såsom om oss deriverar den leder ti

Primitiv funktion: funktionen \(F(x)\) är en primitiv funktion till \(f(x)\) om \(F’(x)\), dvs att om den primitiva funktionen kan deriveras till funktionen vi hade från början \(f(x)\). Konstantterm: ett värde i en ekvation som inte ändras och inte beror på en variabel. 1 primitive function 2 Om en primitiv funktion är F(x), så kan alla primitiva funktioner skrivas F(x) + C. Exempel: Alla primitiva funktioner till = kan skrivas = = + där dx betyder att integrering sker med avseende på variabeln x. Märk att derivatan av den primitiva funktionen är lika med funktionen f. 3 integreringsregler 4 Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är. F (x) = x2 +C. Vi sätter nu in villkoret F (2) = 3 för att bestämma C. 3 = 22 + C. 3 = 4+ C. C = −1. Vår sökta funktion är F (x) = x2 −1. 5 Okej, det första vi gör är att skriva om x 2 +3 till en primitiv funktion; vi plussar med 1 på den upphöjda tvåan och får då 3, och därmed måste vi även skriva att x 3 ska delas med 3. Sedan har vi +3 som vi bara lägger till ett x. Sedan innesluter vi den i våra fina ”klamrar” och skriver till gränsvärden 0 och 2. 6 Vi provar! Att upphöja något till två är samma sak som att multiplicera talet med sig självt. 5 · 5 = 10 25 ≠ Det stämmer alltså inte att x = 5. Prova läs igenom den här sidan först, och gör ett nytt försök sedan. 7 bestäm primitiv funktion 8 Vi introducerar begreppet primitiv funktion och undersöker sambandet mellan denna primitiva funktion och dess derivata. 9 b) Här ser vi samma grej, vi vet att x:et är upphöjt till 1, så när vi gör om den x-termen till en primitiv så blir det x2 istället. 10 Vi vet ju att x2 2 är en primitiv funktion till x, sedan är 5 bara en konstant framför. Därför får man att 5x2 2 är en primitiv funktion till 5x. På samma sätt så har du ju att e2 är en konstant, och att ex är en primitiv funktion till ex. Därför är e2ex = ex + 2 en primitiv funktion till ex + 2. 12

Mattsson skrev:

sneagel skrev:

Utveckla integranden tillsammans med kvadreringsregeln ursprunglig så kunna du integrera termvis

Okei skall göra därför men ifall uppgiften våre klurigare samt det ägde varit upphöjt till 3 eller 4 så för att man ej kan nyttja kvadreringsregeln således är detta då meningen att nyttja sig från inreintegralen(om detta finns något sånt)?

Njäe.. Grejjen är för att kedjeregeln funkar inte därför bra för att tänka baklänges när ni integrerar. till i detta fallet existerar den inre derivatan . och detta blir ej så god om ni försöker lägga till detta när ni integrerar.

Integralerna från och blir nog faktiskt lättast för att lösa genom att förbättra parenteserna. (Partiell integrering kunna också existera ett alternativ, men detta lär man sig ej förän sen)

Pluggakutens chatt!(den existerar inte mot för läxhjälp)

När man bör bestämma varenda, eller likt man brukar säga, samtliga primitiv funktion till ett given funktion lägger man till enstaka konstant. Ofta betecknas den med bokstaven $C$ i samband tillsammans primitiva funktioner. 

Derivatan av ett konstant existerar alltid lika med noll. Därför, då vi söker samtliga primitiva funktioner, lägger vi ständigt till enstaka konstant $C$. Detta eftersom för att vi då vi deriverar $F\left(x\right)$(), alltid kommer få $f\left(x\right)$() oavsett värdet vid konstanten, eftersom att den försvinner nära derivering.

Man skiljer alltså vid uppgiften för att ta fram en primitiv funktion, var konstanten  $C$  ges en värde, samt på samtliga primitiva funktioner, var du behåller variabeln  $C$ som konstant. Det existerar dock utmärkt att lägga mot sig vanan att ständigt sätta dit ett $C$, således att ni slipper avdrag när ni missar den.

En konstant förskjuter grafen inom höjdled uppåt och neråt. Ingenting inom sidled. eftersom att derivatan motsvarar tangentens lutning inom en punkt kommer derivatan vara

Räkneregler för integraler

I Matte 3-kursen introducerade oss begreppet integraler och såg hur man kunde beräkna en primitiv funktion utifrån en känd funktion. oss såg även hur man kunde nyttja integraler till att underlätta beräkning från areor.

I detta här avsnittet ska oss utöka vår kunskap ifall primitiva funktioner och lära oss en antal användbara räkneregler till integraler.

Några nya primitiva funktioner

Sedan vi tidigare studerat hur vi förmå komma fram till dem primitiva funktionerna till en antal vanligt förekommande funktioner, har oss introducerat ytterligare några funktioner, vars primitiva funktioner oss i detta här läget gärna önskar kunna beräkna.

Allmänt gäller för att en funktion F(x) existerar en primitiv funktion mot f(x) om

$$F'(x)=f(x)$$

Eftersom konstanttermer faller bort då man deriverar en funktion, kan funktionen f(x):s primitiva funktion allmänt skrivas såsom F(x) + C, var C existerar en konstant.

De specifika funktioner som oss vill behärska beräkna primitiva funk